jueves, diciembre 14, 2006

Demostraciones Fatales

Uno acaba odiando las matemáticas, dan dolor de cabeza, a veces no las entiende ni su madre, pero tienen magia, energía, gracias a ellas podemos responder muchas preguntas, aunque no todas, claro está.

Como hoy toca hablar de mates, voy a hablar de un pequeño amigo mío llamado cero que es pieza clave para lo que voy a contar luego. El cero estaba allí pero nadie lo veía, la gente tenía diez sacos de trigo, cuatro monedas de oro, pero si no tenían nada pues evidentemente no se comieron la cabeza y simplemente no lo tenían. A nadie en Europa se le ocurrió identificar a la nada con algo. Fue en la India donde se concebió este ente matemático y fueron los árabes los que lo introdujeron en las estúpidas, lentas y simples mentes europeas.

Ahora que el vacío tiene nombre voy a hablaros de otra cosa, las demostraciones falsas que son tan necesarias como las verdaderas. Todo el mundo comete errores, hasta los hombres más listos también la cagan de vez en cuando.

A continuación pondré una serie de demostraciones falsas que espero que mis matemáticos lectores sorteen sin dificultad. Cualquiera con un poco de maña y tiempo sacará los errores. No os preocupeis que pondré las soluciones pero pensar antes de mirar. Allá van:

Demostración de que 2 equivale a 1 (Forma sencilla)

Sean a y b iguales. Se sigue que:

a = b

a² = ab

a² - b² = ab - b²

(a - b)(a + b) = b(a - b)

a + b = b

b + b = b

2b = b

2 = 1

El error está en el paso del cuarto al quinto que al aparecer el sumando (a-b) que es cero debido a que a=b entonces como la división por cero no está definida, la demostración es incorrecta.

Otra demostración de que 2 equivale a 1 (Algo más difícil)

Por definición de la multiplicación, se tiene que, para x ≠ 0,

x = 1 + 1 + ... + 1 (x términos)

Multiplicando ambos lados por x,

x2 = x + x + ... + x (x términos)

Derivando con respecto a x,

2x = 1 + 1 + ... + 1 (x términos)

Ahora bien, volviendo a la primera línea, se ve que el lado derecho de esa igualdad es x, y por lo tanto,

2x = x

De donde obtenemos que,

2 = 1

El error: en la primera línea de la supuesta demostración se asumió que x era entero; dicha expresión no tiene sentido para números no enteros. Por otro lado, para derivar funciones hace falta un dominio continuo; para cada x entero se tiene una ecuación correcta, pero para derivar ambos lados hace falta una ecuación de funciones, no de enteros, y por tanto la función x + x + ... + x no es derivable.

Demostración de que 0 equivale a 1

Lo siguiente es una "demostración" de que 0 es igual a 1

0 = 0 + 0 + 0…

= (1 – 1) + (1 - 1) + (1 - 1) +…

= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ...

= 1 + 0 + 0 + 0 + …

= 1

El error se encuentra en que la ley asociativa [ (a +b) + c = a + ( b +c) ] no se puede aplicar libremente a sumas infinitas a menos que sean absolutamente convergentes. De hecho, es posible demostrar que en cualquier campo, 0 no es igual a 1.

Demostración de que 0,999...(periódico) equivale a 1

Se tiene 1

de 1 se obtienen 3 partes:

1/3 + 1/3 + 1/3 = 1

si 1 dividido en 3 es 0,333...(periódico) entonces: 0,333... + 0,333... + 0,333... = 1

siendo también 0,333... + 0,333... + 0,333... = 0,999...


En realidad la afirmación que 0.9999… = 1 es cierta, aunque la demostración sea errónea. Ahora os animo a que encontreis una demostración válida para que 0.9999 = 1. ¿Os creiais que os iba a dejar todo hecho? Espero vuestros comentarios.

2 comentarios:

laura dijo...

e dejado de leerlo a la mitad de la segunda demostracion, me parece una autentica rayada, y bastante tng ya kn la universidad km para ponereme a pensar en demostraciones erroneas, icluso creo k todas tienen una buena parte de error jeje no me explico
saludos

demencial dijo...

Ja,ja,ja supongo que seran una rayada, pero te insto a que por lo menos leas la última demostración donde encontraras algo para rayarte un poco más.

Saludos